许宝騄在概率论方面的工作
Chung Kai-Lai
Stanford University
许宝騄于抗日战争中期的1940年从英国回到昆明。他开了一门很长的课程，从测度和积分开始，讲到概率论，再通向数理统计。课程的第一部分基于Caratheodory的《Vorlesungen uber Relle Funktionen》，第二部分则取材于Cramer的《Random Variables and Probability Distributions》。他是一个风度优雅而又富有激情的老师，随身带着预先写在本子上的完整的备课笔记。他喜欢在课堂上点出微妙之处。例如，在推导特征函数的反演公式的时候，他强调Lebesgue-Stieltjes积分是能在单个点上积分的。他有一本用得很旧的Cramer的书，页边上写着许多批注，用来说明该处是用一种不必要的难懂的方式写成的，但本书确实包含了概率论的所有实质性的内容。他是一位名副其实的特征函数方法的行家。他的文章[18]，[24]，[27]，[28]，[33]和[25]都显示了他对这一宝贵工具的迷恋和精通。那些年代，在昆明很难得到数学文献，那些从北京(当时叫北平)泊运来的旧图书资料也藏在山洞里以防空袭。(我们虽不住在山洞里，但当空袭或警报响起的时候，却不得不冲向防空洞并在里面待一段时间。)藏在山洞的书里有一本Kolmogorov的《Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung》。在我的请求下，许从山洞里取出了这本书，他说：“这是另一种数学”。当然，他不是一个概率学家，当时这样一个称号在世界的任何地方都很难接受；由于所受的教育和个人兴趣，他更喜欢解决实质问题而不是做形式上的推广。但他绝不阻止别人追求自己的爱好和对其它的东西感兴趣。只要他被一个新课题所吸引，就坚决地投入工作并很快地作出有价值的成果。例如，当Borel关于他自己称之为“可数概率”的工作引起我的注意的时候，许也同样地有兴趣，从而导致了文[22]的出现。这就是后来经Feller的发展被称为“常返事件”方面的早期工作。文[24]和[32]也大致是在类似情况下产生的。
但是，许对概率论及其应用的主要贡献来自于使用特征函数方法的完美技巧。让我按年代顺序来描述和评论一下这些文章。
毫无疑问，文[18]是许的最重要的工作之一。此文是在A.C.Berry得到了对中心极限定理误差估计的正确的阶以后不久写成的。Berry的结果表明，如果
是独立同分布
的随机变量序列，均值为0，方差为1并有有限的三阶矩
，则对所有的
，分布
与标准正态分布之差不超过
，而
是一绝对常数。(此结果也被Esseen证明，但他的文章发表得晚些，许当时并不知道。)许推广了Berry的方法，给出当非奇异时，关于
的渐近展开的Cramer定理的一个简单的证明。然而更深入而意味深长的是他用样本方差
取代样本均值
以后，也得到了相应的结果。用许自己的话来说，“关于
的分布逼近有大量已知的结果。Cornish和Fisher用纯粹逻辑推理方法，得到了任何随机变量
分布借助于它的半不变量来表示的逼近。把Cornish和Fisher形式的结果(无余项估计的渐近展开)转化成能给出余项估计大小的阶的渐近展开的一个数学定理，其重要性是不言自明的。我们在本文中对接近的最简单的函数
做到了这一点。”解决问题的基本想法如下。以
记的四阶矩并令。
那末关系式
成立，许的方法的要害是通过随机向量
的特征函数去逼近它的分布。由于和
高度相关，即使大致考虑一下也可以看出，这是一项十分复杂的任务，绝非Berry和Esseen结果的平推。为了达到目的，许在前人所用的逼近方法的基础上又添上了一维。当他得到这个结果的时候，他正在讲着前面提到的那门课，显得兴高采烈。我记得他说过，他对该问题作过几次尝试，只有当他认识到必须正面攻克二变量逼近问题而不是逃避困难走捷径的时候，才取得突破。他的方法适用于许多统计中常用的函数，如高阶矩和学生氏统计量。其中的一些被他的学生们完成了。虽然许的论文由Bikjalis在他关于正态逼近的工作中引用过，但最近一本这方面的书却没有提到它。在写本文的过程中，我向作者提到这个明显的漏洞却得到令人遗憾的回答，他们竟没意识到许的文章！这是一个严重的失误，它说明许的方法产生的分析力量并未得到充分的发掘。
文[24]的主要结果是：对于均值为0，方差为1的独立同分布的随机变量序列和任意
，我们有
。
这个结论沿着Borel-Cantelli引理的方向有趣地加强了古典的强大数律。文章的想法大概出自Robbins，但证明的方法来自老到的许。在用了Fourier反演公式之后，此问题化为若干个含有特征函数的积分的估计——许的拿手好戏。稍后，Erdos(1949)改进了上述结果并证明加在矩上的那些条件不仅充分而且必要。(据Robbins回忆，他们原始的手稿也包含条件必要性的证明，因为太复杂而未发表。) Erdos用的是一种组合的论证方法。Baum和Katz进一步把这类结果推广到分数矩和高阶矩的情形。
文[25]形成了Genedenko-Kolmogorov书的英译本(1968)的附录III，它的故事或许值得在这里说一说。许对Feller提出的中心极限定理一般形式的充分必要条件有深刻印象，因为在那里特征函数得到巧妙的运用。1947年5月12日从Chapel Hill发出的一封信中，他告诉我他刚解决了对于所有对称稳定律的同样问题。他写道：“我相信，在弱律的一个领域内，这已经是最好的定理。这里所用的方法也适用解决更一般的弱律，即当极限是无穷可分律时的情形。但前面的困难还很大…。这个问题在我看来是如此自然，以至于常担心会和别人撞车。当你和概率方面的人们交流的时候，请传播这一消息。”此后1947年5月26日的信中，他向我宣布了最终结果。他给出了行内独立的无穷小随机变量三角阵列的行和依分布收敛到一个给定的无穷可分分布的必要充分条件。他的条件和Genedenko(1944)的不同之处是把“双尾”放在一起处理。结果的证明是直接的并用到核
。那篇包含结果及其证明的完整手稿就是[25]，许在1947年夏回中国前交给了我。（我在前面提到的Genedenko-Kolmogorov书英译本的前言中误将年份写成了1946。）尽管有预感，许直到很晚才知道Genedenko(1944)的文章。在他回国后写给我的仅有的一封1950年3月19日的信中，他承认Genedenko的优先权并用强调的语气要求我为他保存好仅有的那份手稿。他清楚地显示了自己在解决这一挑战性问题时的实力，该问题是Levy，Khintchine，Kolmogorov，Marcinkiewicz(许见过他)，Feller和Gnedenko等人的一系列文章的顶点。他艰难地攀登并迅速凯旋。即使另一个奋斗者已先于他登上顶峰，又有什么关系呢？许的方法是直接而“从零开始”(start from nothing)的。这后三个词是一种更难以捉摸的中文说法的翻译，这种说法许在另外的场合也用过，意思是尽可能少地依赖以前的东西。他总是把这种非依赖性视为好的数学工作应有的品质，那是很明显的，在他所有的文章中凡是推导的中间步骤要用到前人结果的地方，都尽可能地避免掉了。Genedenko-Kolmogorov书英译本的新版(1968)出现在中国文化大革命的中期，我不知道许是否看到他这篇文章印出来了。
文[27]和[28]已由我在Mathematical Reviews第17卷(1956)第274页上做了比较详细的介绍，很容易查到，就无必要重复其内容了。只需说明一下，它们还是许的特征函数特长的产物就足够了。文[33]属于同一栏目，显然也未被索引过。此文证明了L族中每一个分布都是绝对连续的。据我所知，这是一个新结果。它于1963年被Fisz和Varadarajan再次发现(Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete,Vol 1))。
许在概率论方面的工作[32]是一篇没有用到特征函数的文章。它和[33]一样，用中文写成但附有英文摘要，发表在刊物的同一期上而且未被索引过。文章处理这样一类Markov过程转移概率函数的可微性，它的状态空间是欧几里德空间而其轨道是纯跳跃的。D.G.Kendall于1955研究过这类过程，他分析过转移概率函数
在
处的可微性。对于Markov链，即状态空间是离散的情况，Chapman-Kolmogorov方程的导数公式
由Austin和我分别用分析方法和概率方法证明。(关于D.G.Kendall和Austin的结果，见Chung(1967)。)许把这些方程推广到欧几里德空间的转移概率函数，“所用的方法尤为初等，所获得的结果倒是更精确一些”。对于上面的第一个方程，他借助于post-exit过程推导出一个的积分表达式，一般化了我用的方法，但用的是纯分析的工具。分析和概率方法的内在联系隐含在他的文章中，并且很容易被看出来。
直到1972年我到达北京以后，才知道许已经去世。段学复告诉我，他在用自己的方式研究大量古典组合问题的过程中度过了最后的岁月，遗留下许多笔记。迄今为止这些笔记的内容还不为人所知。
参考文献
Chung, K.L. (1967). Markov Chians With Stationary
Transition Probabilities, 2nd ed Springer- Verlag.
Erdos, P. (1949). On a theorem of Hsu and Robbins. Ann.
Math. Statist. 20 286-291.
Gnedenko, B.V. (1944). Limit theorems for sums of
independent random variable. Uspehi Mat. Nauk.
10 115-165, English translation: Translation No.45,
Amer. Math. Soc., New York, 1951.
Gnedenko, B.V. and Kolmogorov, A.N. (1968). Limit
Distribution of Sums of Independent Random Variables,
rev. Ed. (translated by K.L.Chung, with Appendices by
J.L.Doob and P. L. Hsu). Addison-Wesley.
注： 这是著名概率论学者锺开萊教授的英文论文的中译文（程士宏译）. 原论文“HSU'S WORK IN PROBABILITY”载于The Annals of Statistics, 1979, Vol.7, No.3, 479-483