回忆许宝騄先生对我的教导
陈家鼎
北京大学教授
许宝騄先生离开我们已三十年了。每当想起这位伟大学者当年对我的教导，心情激动不已。我于1959年7月从北大数学力学系毕业后留校工作，被分配到概率统计教研室当助教。9月起我参加了许先生主持的概率论讨论班，学习独立和的极限定理和马氏过程理论。许先生对每个青年的成长十分关心。对每人的特点和缺点有细微的观察并及时坦率指出。记得刚到教研室不久，我单独找许先生汇报自己研究过Kummer关于级数收敛性的判别法，Kummer的判别法是一类相当广的判别法，达朗贝尔判别法，拉阿伯判别法，伯尔特昂判别法等均是其特殊情形，我的研究结果是可数个Kummer型判别法仍不足以判断任一无穷级数的收敛与否，我企图证明א1个Kummer型判别法就够用了。许先生仔细听了我的汇报后明确指出:“你在分析上有基础，但这种研究没有意义，你的缺点是喜欢抽象。一定要研究具体问题。”这次谈话给我很深的印象，研究问题首先要注意问题的意义，一定要研究有意义的具体问题，不能为抽象而抽象。
1961年我向许先生请教柯尔莫果洛夫(Kolmogorov)定理的推广问题。大家知道，对于因子空间是数直线的情形，柯氏在1933年首先建立并证明了概论中的一条基本定理：从一族相容的有限维分布族出发，可构造出无穷维乘积空间上的相关概率测度以给定的各有限维分布为边缘分布。这就是所谓柯氏定理。一些人猜想，对因子空间不加任何限制时结论仍真，但在1948，年E.S.Andersen和B.Tessen举出反例说明对因子空间不加任何限制的情形下柯氏定理不保持成立。1953年，Marczewski证明了：只要因子空间上的任何有限测度是“紧测度”，则柯氏定理仍可推广到这种无穷维乘积空间上。著名概率论专家邓肯（E.B.Dynkin）在他的“马尔可夫过程理论基础”（原文是俄文（1959），中译本是1962年出版的）中给出了柯氏定理的另一推广（对因子空间加的条件相当宽），即该书第一章定理1.2（见中译本21页）但未给出证明。我问许先生，如何证明这个定理？许先生对我说“这个问题我们向Dynkin提出过（Dynkin于1958年到北京讲学），他很坚持他的结果，但未给出证明，你可以研究。”许先生还对我说，要好好研究Anderson等人的反例，研究柯尔莫果洛夫定理不能无限制推广的原因。在许先生的指导下我学习了有关知识，两年后在他的帮助下我举出了反例，说明Dynkin的“定理1.2”是不成立的并给出了比较宽的条件推广柯氏定理。许先生对我的论文稿进行了逐字逐句的修改，论文后来发表在“数学进展”上。
许先生教导我要“具体”，不要“从抽象到抽象”。他自己又言传身教，告诉我们如何抓住事情的实质进行科学的抽象。在讨论班上，他总是在听完别人报告文献之后不久，以他特有的方式，单刀直入，严密而简练的把文献上的内容从新的角度加以整理，概括和推广。我记得在1962年讨论班上学习苏联学者谢列金随机过程的连续性的论文，在我报告完这篇论文之后，许先生就用非常简练的文字把该文进行了化简，条件大为简化；又如在1964年的马氏过程讨论班（除北大的教员外还有中国科大的王寿仁，殷涌泉先生及严加安，李国英，王柱同志等参加）上我们学习Hunt关于Mantin边界的论文，在听完报告人的报告之后不久，许先生把文章内容从新角度（用他的话说“编一个主题”系统的加以改述，指出Hunt的主要结果是什么，令人钦佩的地方在哪里，并提出多项值得研究的问题，给我们很深的印象；又如在1964年，他主持的讨论班上，郑忠国同志首先就遍历情形论证了以同一矩阵为转移阵的两个相互独立的马氏链具有重合性质，但推导比较复杂。许先生在听完郑的报告之后不久，通过引入必离集的概念及对无穷维矩阵的运算，不仅化简了郑的证明，而且给出了在很宽条件下的推广。这一切使参加讨论班的同志体会到，什么叫做抓住问题的实质，怎样去推广现有的结果。
和许先生接触过的人都会感觉到，许先生是绝顶聪明的人，但他并不恃聪明而不努力工作。相反地，尽管有多种严重疾病，多年因病卧床，但他在床上异常勤奋，努力工作。无论是阅读文献，研究问题或是批改青年教员和学生的写作，他都抓得很紧。记得在1962年，我教58级概率班学生的“测度论”课并兼班主任，在学生们的要求下，经许先生同意，我带全班学生到许先生的住处，请许先生和同学们谈学习方法。同学们向许先生提了很多问题，特别是问学好数学的方法是什么，怎样才能掌握一个定理。大家期待着这位伟大的学者会介绍很巧妙的学习方法，一旦掌握就事半功倍。可是许先生却平静地对大家说：“学习是没有方法的。有人问齐白石，您是怎样学好画画的？齐白石的回答很干脆：你跟我一样天天画，画五十年就成了。”由此可见，许先生非常重视学习上勤奋努力，持之以恒。他并不是不要人注意学习方法（他在这次座谈会还是介绍了许多具体的方法，例如当时有学生问：一个定理有几个证明，要不要都掌握？许先生回答说搞清楚一个证明就可以了），而是向学生强调，最重要的是勤奋努力。
许先生对分析和代数有很深的功夫，对数学精益求精，追求最高的学术水准。1963年冬天他对我说“要把一些工具掌握得纯熟。要脚踏实地，不要做梁上君子。现在数学界有的人是梁上君子，没有根。要注意学习别人的长处，要时常想到自己的绝技是别人的末技，但有时要想到，别人的绝技是自己的末技。”
1963年至1966年文化革命前我是教研室秘书，和许先生在工作上有较多的接触，深深体会到许先生的忘我精神与杰出的才智。他对课程设置，教学大纲，毕业班论文指导工作等等很关心，每当我向他请示时，他都给予明确的回答。他不仅带病坚持科研工作，而且十分关心青年的学术成长。江泽培教授于1963年初被上级抽调到二机部从事国防建设的重要工作，那时许先生对我说“江公调走对我们有很大影响，使工作母机受影响。”我说“现在就只靠许先生来全面指导了.”许先生说：“我躺在床上怎么指导？”话虽这样说，他却默默地了解各个科研组的具体情况。1963年秋，他给教研室全体青年教师系统地讲“点集拓扑”（讲课的手稿存留至今），后来同时主持三个教员讨论班（数理统计，马氏过程，平稳过程与过程统计）。在每个讨论班上，他不只是听大家的报告，而且亲自作系统的报告，提出新见解和要研究的问题，使大家收获很大。他对每个青年教师的发展都十分关心，对教研室工作要注意的问题时常提醒我。一次他对我说“毕业论文的题目要针对每个人的情况选好不容易。孙山泽能力很强，我出的题目对他估计不足，他很快就做出来了。”又有一次对我说：“甘章泉从苏留学回来，要注意发挥他的作用。历来有两种倾向，一种是把出国留学回来的人看成是通天的，什么都行；一种是把出国留学回来的不当一回事，认为没什么。这两种倾向都是不对的。”北大当时正在极左路线下不断大搞政治运动，时常把业务工作放在一边，对知识分子不重视，根本谈不上发挥归国留学生的作用。四人帮跨台后，我回忆起许先生的深刻教导，心情很激动。甘章泉同志在留苏期间师从著名概率专家斯果洛霍德（A.V.Skorohod），是我国最早学习并掌握随机微分方程的学者，来北大后碰上社教运动及后来的文化革命，未能发挥他的专长，使我们深深遗憾。
（2000年5月）