数学科学学院工会会员风采系列——她们与数学（一）| 赵玉凤：不惧停滞和阻碍，一路风景如歌
当数学碰上女性学者
会激荡出怎样的火花？
她们的数学治学之路是否也曾迷茫和困惑？
她们又如何对待为学、为师、为母的每一个角色？
本文，我们与您分享北大数院赵玉凤老师与数学和讲台结缘的故事
她说：“我是一个普通人，但总有一束光在指引我的学术之路。”
一、求学：从困惑到明朗
中学时期的赵玉凤，在严格管理下的教育环境中完成了基础教育。“学校里异常压抑的气氛使我一度很厌学。那会儿我一个月才能回一次家。每天早上起来都很困，学习没有效率，就是硬着头皮坚持。” 高考时，赵玉凤成绩并不突出，大学就读于山东烟台师范学院。
凡事都有利弊。严格的规范是一种限制，但优秀的人也能从中汲取力量，好似塞翁失马焉知非福。“大学我基本都是早上6点前起床，晚上10点睡觉，非常规律。就是现在科研和其他事情很忙，我也宁可早起，从不熬夜。我觉得这种习惯也是我后来能应付很多繁重、琐碎事务的重要原因。”大学时期的赵玉凤读了很多喜欢的书，尤其喜欢高等代数，课本会反复看好多遍。“在老师的提醒和推荐下，我有意识地去看不同版本的教科书。除了读老师指定的华东师大的教材，我会自己去图书馆把其他学校的课本都找出来自学，譬如南开、北大的教材我都看过。我的自学能力也因此得到了很大锻炼。”
学而优则研。“大学时的成绩越来越好，也越来越有信心，我都没想过当自由释放的时候，我还有这么大潜力。慢慢地，我就有了做科研的想法。” “当确定考研后，老师向我推荐了南开，当时的我不敢报北大，害怕考不上，就选择了南开。” 主动学习，刻苦用功，再加方法得当，赵玉凤当年以第一名的成绩进入南开大学数学学院攻读硕士研究生。
在南开，赵玉凤师从孟道骥教授。研究生是有学术目标的学习阶段，赵玉凤总结出了一套读书自学的方法。
“我最开始自学的是《复半单李代数》，是孟老师写的。自学时，我会先定一个比较具体的目标，比如说孟老师提出的某个问题，以此为线索。一边阅读，一边做笔记，老师需要怎么讲给别人听，我就怎么写笔记，读到最后要达到我能给别人讲出来的程度。孟老师过一段就会问问我们读的情况如何，后来干脆让我们几个同师门的硕士和博士一起组织了一个小型的讨论班，让我们自己讲。这样的经历使我受益匪浅。现在的我还保持这种习惯，需要精读的文章，每次记笔记都会达到能讲的程度。” “读书要先精后泛，把某一个方向、某种方法了解得非常透彻了，再去翻阅其他相关文章，就有一个对照的参照物，很快就能看明白，并吸收其中的独到之处。”
“在阅读中，我还发现同一学科不同领域之间有很多连接，这样我就逐渐构建起了自己的数学体系。这一点其实很重要，因为现代数学研究几乎没有单一的、靠某种数学技巧就能解决的问题了。熟悉不同领域之间的关联，掌握不同的数学方法，对打开思路和解决问题都是很必要的。”
硕士期间跟随孟老师，赵玉凤参加了原本只有博士的讨论班。“受导师建议的启发，我逐渐掌握了一种做科研的方法，就是先从例子入手，计算个别实例的结果，如果可行，再尝试做一般性的推广。例如你解一类方程，能不能先通过低维的情况解出来，看看有没有规律。然后试着推广到高维，看看规律在高维时是不是同样会发生，本质点究竟在何处。这种从具体着眼的方式，让我知道很多时候不用一开始就把宏大复杂的理论想好了，研究问题就有了切入点。”
在南开，赵玉凤还有幸得到了著名数学家陈省身先生的教诲。“陈先生的课很有特点，他不会提一大堆抽象的定义、概念，而是以研究的角度去讲，会从一个定理为什么发展到现在这一步出发，条理清晰地娓娓道来。他讲着讲着就深入到前沿领域，感觉是从高处往低处看，引人入胜，非常震撼。比如他讲几何专业领域的Gauss-Bonnet定理，让我们这些不是学几何的人都可以听得明明白白。我想，这就是大数学家的本领。当你真正明白一个东西的时候，呈现出来的必然是很简洁、清晰的内容，能用言简意赅的方式由浅入深地讲授。”硕士期间赵玉凤对学术的兴趣越来越浓厚，以数学为业的道路已经非常明确了。随后，赵玉凤很顺利地考取了中科院数学所的博士研究生，踏上了学术道路的新阶段。
博士期间赵玉凤师从徐晓平老师。“读博时，导师一开始就给了我一个问题让我去做，说看看一个月能不能做完。结果我一个星期就完成了，老师特别惊讶我怎么做那么快。其实我就是先从一个简单情况算算看，算了两天后发现这个规律可以推广，然后就很快做出来了。”“徐老师会不断给我新的科研任务，并循序渐进地抛给我一些越来越难的问题，所以我很快就做出了还不错的成果，并发表了文章。”
二、学术：再上台阶
由于博士期间已经发表了四篇高质量的论文，赵玉凤2006年毕业后进入北大数院任教，承担教学与科研的双重任务，也面临新的挑战。“博士期间的成果给了我进入北大的‘通行证’，但要在这里真正获得学术上的一席之地，就要自己重新找科研方向了。一方面因为原来的方向做到一定程度就会觉得做不下去了，另一方面我也想尝试新的突破。而且那段时间生活上的压力比较大了，因为我有了孩子，各种琐事，很难再像学生时代那样专注地做事情。” “那几年是我科研最为艰难的一段，我不能再依赖老师要问题，要在重重压力下独自去探索、寻找方向。很幸运，2011年，我获得了去美国麻省理工学院（MIT）访学的机会，这让我重新学习、充电，也给了我一个可以比较从容思考的环境和空间。”
在MIT，赵玉凤的指导老师是Victor Kac（编者注：麻省理工学院数学系教授，Kac-Moody代数创始人，获2015年斯蒂尔终身成就奖）。“Kac非常有名，整天思考的都是一些还没有被解决的世界级问题。由于我原有的知识储备与Kac老师做的研究方向不一样，进入一个新领域了，我需要先通过学习来弥补差距。我是一个普通人，但总有一束光在指引我的学术之路。”
“我觉得自己读过很多书，但去MIT听讲座时才发现他们说的很多东西我都听不懂，名词术语都很陌生，更不用说搞清楚他们讲的具体内容了。比如，他们当时研究的几何表示论，北大最近才有了这门课程，我访学时MIT的老师已经做得很成熟了。讨论班上，会邀请来自全世界的数学家来报告前沿性成果及进展，令人大开眼界。”
北大数学人也在奋起直追。“北大国际数学中心新来了很多年轻优秀的数学工作者。比如，与我研究方向最接近的余君老师，曾在MIT做过instructor，还曾在瑞士交流学习，见过很多新思想。中心现在举办的杰出数学家系列讲座，设立专门的访问学者基金等方式都非常好，通过邀请名家讲座、鼓励学者访问来帮助我们与外面的人建立联系，逐渐缩小差距。”
三、团队：取长补短
因为充分需要了解别人的思想才能发挥各自的特长，所以数学上的合作研究并不容易。
“数学家之间的交流，可以从具体的问题开始，例如方程如何解、定理如何理解等，否则问题太大太空，不容易上手。在开展具体合作时，可以发挥各自长处。一个人总是有局限的，我现在也开始与领域内相关老师开展合作研究。前年我邀请了香港科技大学的黄劲松教授一起合作。后来，在青岛的一个学术会议上，我又与台湾清华大学蔡孟杰教授就我看到文章中的一个具体问题展开交流。”
“我现在带研究生也是合作互补的指导方式。最近，院里的周健老师、我和我的研究生开了一个讨论班，我们一起来读MIT知名数学家Kostant的一篇关于几何表示论的经典文章。这篇文献大概100多页，相当于一本小册子了，我以前读过，也用过里面的结果，了解读懂这篇文章需要学习哪些书目。但文章中涉及的证明包含了庞大的数学思想，需要花很多时间去分析，我其实并没有完全搞懂。我认为研究生在初期以阅读这样的文章为指导，从具体问题入手，针对性地学习，对科研进步大有裨益。比如画画也是要先临摹，随后应变创新。我希望我的学生先临摹大数学家，掌握技术，再做后期的问题。这学期我们的目标是读完这篇文章，读完后学生相当于综合学习了好多学科知识，例如代数几何、交换代数、李群、李代数、微分流形等，会为后面的研究工作打下良好的基础。”
“我们争取慢读、精读，要求学生将这篇文章整理成一个lecture notes，文中的每句话用的什么结论都要写清楚，达到可以讲给别人听的程度，不能期待别人回答你的问题，而应要求自己可以回答其他人提出的问题。这也是我过去的经验，因为有时候科研之路是很孤独的，早晚有一天都需要独当一面，迎接困难和挑战。每周五下午我们一起讨论，学生主讲，我和周老师负责解决学生的问题，我偏重代数方面，例如代数上如何理解这个表示的分解，周老师则侧重从几何的视角看待这个研究。我们从具体问题出发，三个人共同推进。培养学生的过程，其实也是我学习的一个过程，我们是一个分工协作非常愉快的团队。”
四、教学：求新求变
作为高校教师，教学是另一项重要的责任和义务。就像她的科研工作一样，赵老师对此有着认真的态度和深入的思考。“教学和科研可以相互促进。一方面，在学术研究中用到的思想和方法，可以加入课程中让学生提前接触感受，例如有一次我出的考题就源于我在做科研时的引理。另一方面，教学对科研也有所帮助。有些课教了四、五遍了，一开始是有点烦，但我耐下心来去体会时，感觉到每一次都有新的体会及新的发现。这也启示我做科研时要多读多看，同一篇文章常读常新。”
“这学期我教大一学生的‘线性代数A’，实际上就是原来的‘高等代数’，这是代数方向最基础的一门课，有好多信科的学生来选。我教过很多次，对内容很熟悉，讲义都是现成的，但我每年都会补充新的内容。例如增加自己在做科研的过程中发现的、与课程内容相关的、有意思的问题，或是选择一些与上课同学专业领域相关的例子。每次课前，我会通过微信群告诉学生进度安排，例如这个星期讲到哪一节，下一章要讲什么，需要预习什么内容等等。我会让学生先看看教材中定理的证明方法，在课上我会呈现其他的证明思路。例如上节课我们讲Cauchy-Binet公式，书上是用分块矩阵的方法来证明的，过程比较繁琐，大概用了两页纸才证明出来。我是用公理化系统本身行列式定义两个矩阵乘起来，写成一个组合，用四五行就证出来了，学生印象很深刻，课堂效果也不错。我喜欢尝试用新角度或新方式，探索更简便的定理证明方法。课堂讲授要与教材有所变化，学生才会更感兴趣，也更有助于启发他们的思路和对问题的理解。”
“我会尽量举一些教科书中看不到的比较新颖的例子，让他们觉得知识很有趣，引发他们的学习热情。记得有次上课我举了个例子，一个学生觉得非常巧妙，就到黑板前一直与我讨论，反复地说太有意思，太好了。这也激励我在教学中不断地寻找新的方法、新的角度、新的例子。” “北大的学生大都非常用功，比如我教的‘高等代数’这门课，很多同学都主动找了其他参考书来看。同学们可能也受我的影响，会主动独辟蹊径，寻求新的证明方法或解题思路。也不光是本院的同学，一些信科的学生也会主动拓展某些概念或定理的理解与应用，读相关文章，然后找我来讨论。作为老师，我很欣慰看到同学们对数学学习的主动性和高标准。”
另外，赵老师课堂上的安排与时间管理也非常细致入微。“一堂课我一般写满10块黑板，并按1、2、3、4、……标页，第一块是复习，最后一块是总结。我告诉学生，如果你今天很累，前面我讲的时候你犯困了，就翻开看看我最后一页黑板上的内容，假如你可以自己证明，就说明你学到了。学数学要有知识的架构，不要死记硬背，而是真正去理解这个定理，什么条件，你要把那个条件看清楚，因为条件不对的话，就是另外一种情况了。” “为了督促他们认真听课，作业一般我会布置三四道题，有两个题是书本上的，两个是我在课上讲过的例子让他们发挥的题。你得先上课并认真听了，才知道怎么做。”
赵老师的课非常受欢迎，同学们的学习热情很高，他们的考试成绩也令人满意。赵老师也对学院的课程考核改革表示赞许。“现在学院成立了教学研究中心，里面设置考试组，例如代数组、分析组等，小组老师专门负责命题工作，对一些公共基础课统一命题考试。比如10点的考试，9点半之前我去教务老师那里拿密封好的试卷，到考场发卷子我才知道具体的考试内容。而且出题的老师不是固定的，会进行轮换。这种方式我觉得很好，一方面，如果我既上课又命题，压力比较大，因为我讲课的思路会偏重我的命题，对其他两个老师所带班级的学生不太公平。而且众口难调，出得太难，基础一般的同学会抱怨太难；出得太简单，基础好的同学又会觉得自己白白付出了很多努力，结果考题这么容易。统一命题就比较公平了，对老师和学生都是一种督促，没办法‘取巧’。‘高等代数’刚刚考过，今年我们是三个班一起考试，同学们考得还不错。”
五、学生：循循善诱
赵老师当过班主任，因为她特有的耐心，学生工作方面也很细致、很有成效。“学生工作比较琐碎，最重要的价值体现在同学们面临重要时刻的选择上。当有些问题我也没办法解决时，我会推荐他们咨询上一级的师兄师姐或相应的任课老师。也有同学会向我了解出国留学的一些情况，让我帮他们写推荐信等。” “做班主任期间，遇到的很多问题是学习之外的，比如碰到迷失自我、沉迷游戏。我会想一想他们为什么会如此，随后与家长、其他老师一起努力，慢慢鼓励、接纳、培养他们，让他们重新振作起来。”
“我遇到过两类需要特别关注的学生：一类是有心学习，方法不当的同学。比如我曾经教过一个学生，他有学习的意愿，但是一有不懂的问题，他就查手机，一看手机就控制不住浏览其他网页，时间一晃过去了。我跟他说，数学重要的是专注和效率，你要是真想学习，白天先停止用手机，有问题晚上再查，你也可以去图书馆避免干扰，就看纸质版的书。这类学生往往是学习方法问题，没有及时从过去的学习习惯中调整过来。另一类学生是真的破罐子破摔，沉迷游戏和网络小说等，觉得自己怎么也追不上了，干脆就不学了。这样的学生其实也是有自责心理的，只是在游戏中逃避现实，但这只能是恶性循环。我遇到过这样的学生，了解情况后得知，他打游戏的钱是妈妈给的，但妈妈不知道他要钱的真正原因。我就跟家长商量，先不要每个月给孩子那么多钱。然后我们建了一个群，不断鼓励他，让学生觉得自己还能做事情，生活依然有意义。后来这个学生正常毕业并找到了工作。”
六、家庭：爱子以方
女性学者往往还需要承担更多的家庭责任，赵玉凤老师也需要在家庭和工作中寻找平衡点。“作为女性工作者，我确实觉得生孩子后的两年时间里难以专注做研究。后来去MIT访问，给了我缓冲思考的时间，重新找回了研究状态。”
没有太多时间陪孩子，但孩子的教育与成长却不能放松，赵老师的办法是一定要让孩子养成良好的学习习惯，并有乐观积极的生活态度。“我自己不熬夜，我们家也没有睡懒觉的习惯，周末在家如果儿子早上睡到8点，我就有点受不了，赶紧叫他起来。” “我和爱人平时工作比较忙，我们跟儿子沟通，他也非常理解我们这种困难。我也会向他传递一种思维观念，任何经历有好处也有坏处，看问题时常有感恩的心才能够看到亮光。”
“孩子上小学时，我们就是快乐教育的理念。我告诉儿子，我对你的课业没有太高要求，希望你有个快乐的童年。儿子今年学习强度突然加大，他觉得压力很大。我跟他说，其实每个阶段都有困难，你现在遇到困难是好的，你可以学习怎么面对它。有挫折不怕，关键是挫折后如何选择，你是继续原地发呆还是寻找方法克服。我觉得父母不能总是帮孩子完成各种事情，而应该给予孩子更多指导，让他们学会如何解决问题。”
“我对孩子的期待就是希望他做能力范围内可以胜任的事情。如果能力与环境不匹配，会非常累。人生很长，不要时时事事跟别人比，自己努力，不浪费时间就好。”
“最近我关注了他们中学的数学题，发现初一的深度练习题已经是过去初三的难度水平了。譬如有一个最大值问题，需要建立二元二次联立方程然后求解。还有一道多项式的题目，我跟他爸爸研究发现，以孩子现在的知识结构去解这个题需要绕个弯，运用很大的技巧，但如果学过二项式定理则很容易就完成了。一些教育机构可以通过培训让你迅速掌握解题的整体套路，但这违背了人的认知规律，对将来从事研究毫无意义。所以，我跟孩子说不会就不会，我们把课本上的基础内容在这个时间段内学会，按照自己的节奏按部就班慢慢学就好。”
赵玉凤老师的学术道路和人生经历如行云流水一般，虽有停滞和阻碍，但却一路风景如歌，永远向前。这是一位女性数学学者豁达的人生观，更是积极进取又从容泰然的工作态度。
人物简介
赵玉凤，女，1979年生，博士，金沙娱场城app7979副教授。2000年毕业于山东烟台师范学院；2000年至2003年就读于南开大学数学学院；2003年至2006年于中国科学院攻读博士研究生。2006年至今，在金沙娱场城app7979任教。2011年至2012年，作为访问学者，赴麻省理工学院数学系访学。主讲课程包括高等代数、线性代数B等。研究方向为代数、群和表示论。曾在International Journal of Theoretical Physics，China Annal of Math (B)，Journal of Algebra，Manuscripta Mathematica等期刊发表关于Nokov-Poisson代数、无限维Novikov代数、非阶化Witt型李代数的不可约表示、非阶化Block型李代数的表示的多篇文章。
策划：教师教学发展中心、数学科学学院
采访记者：郭九苓、王以恒
录音整理：王以恒
文字编辑：董倩、郭九苓
图片：孙启明、任燃、受访者提供