课程号：00137110
课程名称:应用随机分析

学分:    3

开课学期:春

先修课程：概率论，应用随机过程，（或概率统计和随机数学）

基本目的：培养学生借助随机分析(或者称为随机微积分)的思想和方法建立数学模型, 并利用随机分析的理论、工具分析与解决问题的初步能力。尽可能用“初等方法”, 借助较少的高深数学工具将随机分析的思想介绍给学生；强调概率直观的培养, 不刻意追求数学上的严格性课程着重通过大量来自不同领域的实际例子加深学生对课程中重要概念、结论和思想方法的理解。

内容提要:

一、概率论和随机过程基本概念

1.概率论公理系统简介；2.带流的概率空间的直观引入和简介；3.方差有限的随机变量空间和高斯系

二、条件数学期望 1.条件数学期望的直观推导和引入；2.条件数学期望的定义、性质和例子

三、鞅论初步  1.鞅定义和例子；2.Doob下鞅列分解定理；3选样定理和Doob停时定理；4.鞅收敛定理

四、布朗运动   1.定义和物理推导；2.性质

五、随机微积分和Ito公式  

1.Riemann-Stieltjes积分；2.布朗运动的平方变差性质；3.关于布朗运动的随机积分定义和性质；4.Ito公式5.Stratonovich-Fisk对称积分

六、随机微分方程和扩散过程

1.随机微分方程几个重要的例子（OU方程和Langevin方程，随机调和振子，Black-Scholes方程）；2.随机微分方程解的存在唯一性简介，扩散方程和解的马氏性简介；3.Kolmogorov向前方程(Fokker-Planck方程), Kolmogorov向后方程；4.多维扩散过程的多种描述方式介绍（随机微分方程、 经典分析的方式、借助连续性方程的物理学描述方法，鞅问题）；5.Dirichlet边值问题的概率表示，一维扩散过程的自然尺度函数和标准测度及其应用，首出时的分布和向后方程；6.时齐和非时齐Feynman-Kac公式及其应用7.扩散过程的长时间行为的基本理论和应用实例

教学方式:每周授课3学时

教材与参考书:

  1. 刘勇：应用随机分析 自编讲义，待出版
  2. 龚光鲁：随机微分方程及其应用概要  清华大学出版社 2014年1月第3次印刷
  3. Oksendal, B., Stochastic Differential Equations: An Introduction with Application.  6th ed. Springer 2005
  4. Klebaner, F. C., Introduction to Stochastic Calculus with Applications. 3rd ed.   Imperial College Press

（随机分析及其应用 (第二版) 人民邮电出版社 2008   (英文影印版)）

  1. Mikosch, T., Elementary Stochastic Calculus, with Finance in View. World Scientific 1998

（随机分析基础 世界图书进出口公司）

  1. Lawler, G. F., Introduction to Stochastic Processes. 2nd ed.  Chapman & Hall/CRC 2006

     （随机过程导论 张景肖   译  机械工业出版社  2010）

  1. Pavliotis G. A., Stochastic Processes and Applications: Diffusion Processes, the Fokker-Planck and Langevin Equations. Springer 2014

 成绩评定方法：由主讲老师定，建议40%平时成绩，60%期末考试。

课程修订负责人：刘勇

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