课程号：00131460
课程名称：线性代数B
开课学期：秋
学分： 4
先修课程：预备知识包括：数域的概念，求和号与乘积号，一元多项式的概念，带余除法，多项式根与系数的关系，多项式整除概念。
基本目的：使学生初步掌握以线性空间和线性变换为核心的线性代数的基本理论、基本方法和基本技巧，培养学生科学思维和分析问题以及解决问题的能力。
内容提要：
一、线性方程组（12学时）矩阵消元法的基本原理及计算方法，n维向量空间的定义及八条基本性质，线性相关与线性无关，极大线性无关部分组和秩，矩阵的初等变换及其标准形，矩阵的秩及其计算法，齐次线性方程组的解向量的基本性质，基础解系的存在定理及计算法，线性方程组有解（无解）判别定理，解的结构（用导出方程组的基础解系及一特解表示方程组的一般解）。
二、矩阵代数（7学时）矩阵的加法、数乘，矩阵的乘法及其基本性质，初等矩阵的概念及其与矩阵初等变换的关系，满秩矩阵表为初等矩阵的乘积，矩阵乘积的秩，逆矩阵的定义及基本性质，可逆判别法（满秩），逆矩阵的计算法，分块矩阵及其乘法，准对角矩阵及其基本性质。
三、行列式（6学时）n阶行列式的定义，行列式的基本性质，代数余子式，行列式按任意行（列）的展开公式，行列式的计算法，n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的判别法，逆矩阵的显式表示（伴随矩阵），矩阵乘积的行列式，克莱姆法则。
四、线性空间（8学时）线性空间的定义及各种具体例子，向量组的线性相关（无关）及各种具体例子，线性空间基、维数的定义和基本性质，各种例子，K^n中基的判别法，向量的坐标及其求法，基变换公式与坐标变换公式，K^n中过渡矩阵的计算方法，子空间的定义及基本性质，子空间的交与和，维数公式，子空间的直和的基本概念。
五、线性变换（8学时）线性变换的定义及例，线性变换的基本性质，线性变换的加法、数乘与乘法，线性变换在一组基下的矩阵，线性变换在不同基下的矩阵的关系，矩阵的相似，特征值、特征向量的定义，特征子空间，矩阵的特征多项式，特征值与特征向量的计算方法，具有对角形矩阵的线性变换，线性变换的不变子空间，Jordan块与Jordan标准形，复数域上n阶方阵必相似于Jordan形矩阵（不证明）。
六、双线性函数与二次型（7学时）线性与双线性函数的定义，双线性函数在一组基下的矩阵，双线性函数在不同基下的矩阵，矩阵的合同，对称双线性函数可对角化定理，二次型及其与对称双线性函数的关系，二次型的可逆线性变数替换，二次型可化为标准形的定理，复二次型的规范形，实二次型的规范形及其唯一性定理（惯性定理），实二次型的正、负惯性指数与符号差。正定二次型的定义及其基本性质，正定二次型的判别法（顺序主子式大于零），正定矩阵。
七、欧几里得空间（7学时）欧几里得空间的定义，向量的长度与夹角，哥西不等式，n维欧氏空间的度量矩阵，标准正交基，标准正交基间的过渡矩阵，正交矩阵，Schmidt正交化方法，子空间的正交补空间，正交变换及其在标准正交基下的矩阵，正交变换的基本性质及分类，对称变换的定义及其在标准正交基下的矩阵，对称变换的特征值与特征向量的基本性质，对称变换矩阵正交相似于实对角矩阵，用正交矩阵化实对称矩阵（实二次型）成对角矩阵的计算法。
八、酉空间（5学时）酉空间的定义，正交性，标准正交基，Schmidt正交化方法，标准正交基间的过渡矩阵，正交补空间，酉变换，正规变换，厄米特变换与厄米特矩阵，正规变换与厄米特变换的基本定理。
教学方式：每周授课4学时并有习题课1小时。
教材与参考书：
1、丘维声，简明线性代数，北京大学出版社
2、北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数，高等教育出版社。
3、王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松：常微分方程（第二版），高等教育出版社。
4、Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel and Lawrence E. Spence, Linear Algebra, Pearson Education, Inc.
5、蓝以中，赵春来，线性代数引论， 北京大学出版社。
学生成绩评定方法：作业10％，期中考30％，期末考60％。
课程修订负责人：冯荣权 王立中