课程号：00130190

课程名称：微分流形

开课学期：春

学分：    3

先修课程：数学分析，高等代数，拓扑学

基本目的：通过课程学习，了解来自古典数学及物理学的微分流形例子，掌握流形上的微积分的基本理论框架和技术。

内容提要：打 (*) 号的部分为选讲内容，如果课时紧张可能不会讲。

一、微分流形的基本概念和例子

微分流形的定义，球面、射影空间、古典李群、齐性空间、Riemann 流形、复流形等例子，光滑映射，浸入与淹没，光滑子流形，单位分解定理。

二、向量场

切空间、余切空间，向量场，光滑流形的定向，单参数变换群，Frobenius 定理，切向量场的李导数，李群及其李代数的基本概念，微分流形上的联络、平行移动和协变微分，Riemann 流形的 Levi-Civita 联络，测地线，(*) 联络的挠率和曲率。

三、外微分形式

张量代数，外代数，外微分形式，外微分运算，用 Pfaff 方程组表达的 Frobenius 定理，李群的结构方程，De Rham 理论简介，体积形式，外微分形式的第一型和第二型积分，Stokes 定理，(*) Poincare 对偶定理，(*) Hodge 理论简介。

四、向量丛和主丛的联络

向量丛，(*) 主丛，向量丛上的联络，(*) 主丛上的联络，(*) 联络的曲率张量，(*) 关于示性类的 Chern-Weil 理论简介。

教学方式：每周授课3学时

教材与参考书：

1. 陈省身、陈维桓著：微分几何讲义，北京大学出版社。
2. 陈维桓著：微分流形初步（第二版），高等教育出版社。
3. 白正国、沈一兵、水乃翔著：黎曼几何初步（前两章），高等教育出版社。
4. 梅加强著：流形与几何初步（前三章），科学出版社。
5. M. Spivak著，齐民友、路见可译：流形上的微积分（双语版），人民邮电出版社。
6. B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry - Methods and Applications, Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields，Springer.

学生成绩评定方法：作业成绩+期末考试成绩。

课程修订负责人：包志强

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