课程号：00132310
课程名称：微分几何
开课学期：秋
学分： 3
先修课程：数学分析、高等代数、常微分方程。
基本目的：学习和掌握空间曲线和曲面论的基本知识，培养学生的几何直观能力，以及应用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力。期待学生对局部坐标、度量和曲率概念有丰富而准确的理解，为学习微分流形、黎曼几何等课程打好基础。
内容提要：
第一章：预备知识 （约2学时）
R3中的几何结构：平面反射，旋转群，平移群，刚体运动群。R3中的代数结构：内积，外积。
第二章：曲线论 （约6学时）
1）正则参数曲线，可容许参数变换，曲线的切线，曲线的定向，弧长公式和弧长参数。
2）曲线的曲率，曲线的单位切向量，主法向量，次法向量，Frenet标架。
3）曲线的挠率，Frenet公式，一般参数下曲率、挠率和Frenet公式的计算。
4）曲线在一点处的近似曲线，切触阶。
5）曲线论基本定理及其证明。
6）平面曲线的相对曲率，平面曲线的等周不等式，旋转指标定理。
第三章：曲面的第一基本形式（约8学时）
1）正则参数曲面，可容许的参数变换，曲面的定向。
2）曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量，自然标架。
3）曲面的第一基本形式，切向量的长度和夹角，曲面的面积。
4）曲面上的向量场，曲面上的参数曲线网。
5）曲面间的可微映射，可微映射诱导的切映射，曲面间保长对应、保角对应。
6）可展曲面的例子，直纹面可展的条件，可展面的分类，可展面和平面的保长对应。
第四章：曲面的第二基本形式（约12学时）
1）曲面的第二基本形式，平面和球面的特征。
2）曲面上沿切方向的法曲率，渐近方向。
3）Gauss映射，Weingarten算子，主曲率和主方向，法曲率的Euler公式，曲率线。
4）主曲率和主方向的计算，平均曲率和Gauss曲率。
5）曲面在一点处的近似曲面，Dupin标形。
6）常Gauss曲率曲面，常中曲率曲面，极小曲面。
第五章：曲面论基本定理（约8学时）
1）曲面的Gauss方程，Weingarten方程，Christoffel符号。
2）一阶偏微分方程的可积性条件，曲面不变量的Gauss方程，Codazzi方程。
3）曲面论基本定理：存在性和唯一性。
4）Gauss绝妙定理：Gauss曲率在保持度量（第一基本形式）的变换下不变。Gauss曲率为零的曲面一定是可展面。
第六章：测地曲率和测地线（约10学时）
1）曲面上的曲线，测地曲率，测地挠率，测地曲率的Liouville公式。
2）测地线，测地线的微分方程，弧长的第一变分，测地线作为长度泛函的临界曲线。
3）测地平行坐标系，测地极坐标系，常曲率曲面的第一基本形式。
4）Gauss-Bonnet公式,证明和应用。
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
1）陈维桓：微分几何初步，北京大学出版社。
2）Do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall出版社。
3） 苏步青，胡和生等：微分几何，高等教育出版社。
学生成绩评定方法：平时成绩20%，期中考试30%，期末考试50%。
课程修订负责人：马翔