课程号：00130161
课程名称：拓扑学
开课学期：秋
学分： 3
先修课程：数学分析，后半学期需要用到群的基本知识（抽象代数入门课程中会学到）
基本目的：
1、 学习掌握一般拓扑学基本知识，掌握在现代数学中广泛使用的拓扑语言。
2、 学习掌握几何拓扑及代数拓扑入门知识，用不变性、不变量讨论空间的拓扑分类。
3、 培养拓展几何、拓扑的直观，训练抽象思维及逻辑推理能力，提高综合数学素养。
内容提要：
1、 拓扑空间与连续性 （约8学时）：
1） 拓扑空间及其中的常用概念，度量拓扑，子空间拓扑。
2） 连续映射的定义、判定及常用构造方法，同胚映射。
3） 乘积空间。
4） 商空间，Mobius带、射影平面等典型空间的定义及制作。
2、 几个重要的拓扑性质 （约12学时）：
1） 分离性（特别是Hausdorff性质）和可数性。
2） 度量化，Tietze扩张定理、及Urysohn度量化定理。
3） 紧致性，紧致空间的性质。乘积空间与紧致性，商空间与紧致性。
4） 列紧性，度量空间中紧致等价于列紧。
5） 连通性，连通空间的性质，连通分支。
6） 道路连通性，道路分支。
7） 用拓扑性质判断空间的不同胚。
3、 曲面（约5学时）：
1） 闭曲面，紧致曲面，可定向及不可定向曲面。
2） 曲面的连通和，曲面的欧拉示性数。
3） 闭曲面及紧致带边曲面的分类定理结论，曲面类型的判别。
4、 同伦与基本群（约12学时）：
1） 映射的同伦，道路的定端同伦，道路类。
2） 基本群，连续映射诱导的基本群同态，基点对基本群的影响。
3） 圆周的基本群。
4） 空间的同伦等价，形变收缩，可缩空间，基本群的同伦不变性。
5） 有限表出群简介。
6） van Kampen定理，圆束、闭曲面及n维球面基本群的计算。
7） 基本群应用的几个经典例子（代数基本定理的证明等）。
5、 复叠空间（约6学时）：
1） 复叠映射，复叠空间，提升唯一性定理，复叠空间的基本群。
2） 同伦提升定理，映射提升定理。
3） 复叠变换，正则复叠空间，万有复叠空间。
4） 复叠空间的分类定理。
教学方式： 每周授课3学时，共48学时（包括期中考试占用的学时）。
教材与参考书：
教材：尤承业著：基础拓扑学讲义，北京大学出版社。
参考书：M. A. Armstrong著，孙以丰译：基础拓扑学，北京大学出版社。
J. R. Munkres著，罗嵩龄等译：拓扑学基本教程，科学出版社。
包志强著：点集拓扑与代数拓扑引论，北京大学出版社。
学生成绩评定方法：平时成绩占20%，期中考试占20%-30%，期末考试占50%-60%。平时成绩由交作业和出勤情况统计决定，期中期末具体比例分配根据两次考试考卷的相对难度浮动。课程修订负责人：王家军