课程号：00136880
课程名称：数论基础
开课学期：秋
学分： 3
先修课程：数学分析、高等代数、抽象代数
基本目的：介绍数论中的若干中心问题和基本思考方法。增加对于抽象代数中某些概念的感性认识。了解数论与其他分支的内在联系。
内容提要： 描述能够写成x^2+ny^2的素数是数论的一个经典问题，本课程将从这个问题出发，学习相关的数论内容。具体内容包括：
一、二次型理论
介绍整系数的二次型理论，包括约化型理论，二次型Genus理论，二次型的复合及类群等。
二、代数整数环初步
代数整数的概念和历史起源简介，欧氏环的定义和例子，因子分解唯一性不成立的代数整数环的例子，Fermat方程和理想概念的引入，理想的一些基本运算规则，理想的范数和素理想的概念，理想分解的唯一性定理的简单介绍，理想类群的基本概念及其与因子分解性质的联系，有限域的概念以及有限域上的多项式环的简单讨论,讨论代数数域扩张的分歧理论。
三、虚二次域
介绍虚二次域order的相关理论，包括order的理想理论，order的理想类群跟虚二次域广义理想类群的关系，order的理想类群及跟二次型类群的关系。
四、类域论介绍及应用
定义Artin符号，并给出类域论的精确陈述（不涉及证明），讨论希尔伯特类域以及更一般的ray类域。讨论类域论跟互反律的关系，细致讲解二次互反律，三次互反律等。介绍Cebotarve密度定理。着重探讨这些理论如何应用到描述能够写成x^2+ny^2的素数。
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
1.David Cox: Primes of the form x^2+ny^2: Fermat, class field theory and complex multiplication.
2. 华罗庚：数论导引，科学出版社。
学生成绩评定方法：作业20％，期中考试30％，期末考试50％。
课程修订负责人：丁一文