课程号：00137970
课程名称：实变函数（实验班）
开课学期：秋
学分：3
先修课程：数学分析
基本目的： 以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为基本内容，结合在这些内容在分析，几何，方程等其他方面的应用，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证能力。
内容提要：
1. 集合与欧氏空间的点集（4课时）
1） 集合，集合列的（上、下）极限集
2） 集合的基数，可数集，连续基数
3） 欧氏空间 ，Borel集，Cantor集，Baire纲定理
2. Lebesgue测度（6课时）
1） Lebesgue外测度
2） 可测集及其性质
3） 可测集与Borel集的关系，sigma代数
4） 不可测集介绍
3. 可测函数与可测函数列的收敛（8课时）
1） 可测函数及其运算
2） 几乎处处收敛与依测度收敛，
3） Littlewood三原理，Egoroff定理，Lusin定理
4） Brunn-Minkowski不等式
4. Lebesgue积分（10课时）
1） 非负可测函数的积分，Levi引理，Fatou引理
2）一般可测函数的积分，积分的绝对连续性，Lebesgue控制收敛定理，积分平均连续性
3） Lebesgue积分与Riemann积分的关系，Riemann 可积函数的充分必要条件
4） 重积分与累次积分，Fubini定理和Tonelli定理及应用
5） Fourier反演公式，L2函数的Fourier 变换
5. 微分与积分的关系（10课时）
1） 单调函数几乎处处可微
2） Hardy-Littlewood极大函数，Lebesgue微分定理，恒等逼近
3） 有界变差函数
4） 变上限积分，绝对连续函数，微积分基本定理
5） Rademacher微分定理
6. Lp 空间（10课时）
1） Lp 空间，Holder不等式，Minkowski不等式
2） Lp空间中的收敛与完备性，可分性，平均连续性
3） Lp空间的对偶
4） L2 空间的内积，正交系与广义Fourier级数，Bessel不等式与Paseval等式
5） 可求长曲线和等周不等式
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
周民强：实变函数论，北京大学出版社，2008年5月
徐森林：实变函数论，中国科技大学出版社，2002年2月
学生成绩评定方法：考试加平时成绩（作业20%+期中考试30%+期末考试50%）。
课程修订负责人：周斌