课程号：00132341
课程名称：几何学
开课学期：秋
学分： 5
先修课程：无
基本目的：本课是我们数学科学学院面向数学专业同学的基础课。一方面，它是中学阶段平面解析几何知识的延伸和扩展，重在讲清欧氏几何的基础、拓展和它与线性代数的关联，也为多元微积分、物理学等后续课程提供工具。另一方面，它又是我们几何课程体系的入门课，因此要梳理几何观念的源流，通过几种典型的“非欧氏”几何的介绍，了解空间上可以有不同的几何结构，为学生后续学习拓扑学、李群、代数曲线、流形和黎曼几何做一个“浪漫”的铺垫。在对同学的训练上，本课程侧重于培养几何思想和几何直觉，提高学生运用不变性等思想方法和综合多种工具来灵活解决问题的能力。
内容提要：
一、向量代数（约8学时）
向量的构造；向量的基本运算-加法、数量积、内积、外积和体积（混和积）；向量的线性运算和分解，向量代数的应用（球几何）。
二、等距变换和仿射变换（约12学时）
平面和空间的等距变换（等距映射）及例子：反射、旋转、平移等。平面和空间图形的对称群；平面和空间的仿射变换及其诱导的向量空间线性变换；仿射变换的不变性质、不变量；坐标与方程（仿射坐标系，单位直角坐标系），仿射变换、等距变换的坐标表示。
三、空间解析几何，二次曲线的分类（约10学时）
空间直线和平面的方程及位置关系研究；曲面例子（球面，柱面，锥面，旋转面，直纹面）。坐标变换（平面和空间，仿射与单位直角坐标变换）；圆锥曲线；平面二次曲线及其不变量；二次曲线的分类；二次曲线的度量和仿射特征（中心、对称轴、切线和渐近线）；二次曲面的分类定理简介（*）。
四、射影几何初步（约12学时）
中心投射（透视法），Desarques定理，Pappus定理，射影平面，射影变换，点线对偶，交比，圆锥曲线的射影理论，配极，射影坐标系及其应用。
五、双曲几何初步*（约8学时,由教员依教学进度自行决定）
平面和空间的反演变换，平面Moebius变换群，复分式变换，复交比；双曲平面，双曲度量，双曲变换群，双曲三角形正弦、余弦和面积（角亏）公式。
机动（10课时）：
视情况，可侧重讲述其中一部分章节，增加其课时；也可以增加有关几何发展史（如欧氏几何与公理体系）、Lorentz几何等的专题。
教学方式：每周授课4+2学时
教材与参考书：1）尤承业，解析几何，北京大学出版社。
2）王长平，《几何学》讲义（电子版，未出版）
3）项武义《古典几何学》。
学生成绩评定方法：平时：20％，期中：30％，期考：50％。
课程修订负责人：马翔