课程号：00137993
课程名称：复变函数（实验班）
开课学期：春季
学分： 3
先修课程：数学分析、高等代数
基本目的： 复变函数是为数学学院各个专业开设的一门重要基础课. 通过课程学习使得同学理解和掌握复变函数的基本理论，进一步加强对数学抽象思维, 逻辑推理和计算能力的训练，体会复变函数所表现的数学理论的优美之处，了解复变函数理论的相关应用。
内容提要：
一. 复分析的预备知识 （约5学时）
1.复数和复平面, 完备性, 扩充复平面 2.复平面上的函数: 连续函数 全纯函数 幂级数 3. 复导数, 导数的几何意义, Cauchy-Riemann方程 4.曲线积分
二.Cauchy定理及其应用和幂级数 （约12学时）
1. Goursat定理 2.原函数的局部存在性, Cauchy定理, 全纯函数的局部幂级数展开 3.一些积分的估计4. Cauchy积分公式 5.应用: 全纯函数的唯一性定理, 平均值定理, 最大模原理, Morera定理, 全纯函数的收敛, 单连通区域上的全纯函数, Schwarz反射原理, Runge逼近定理, 全纯函数的解析延拓, 单值性定理
三.亚纯函数及其对数（约12学时）
1. Laurent级数, 零点和极点2. 留数公式 3. 孤立奇点的分类和亚纯函数 4. Rouche定理, 辐角原理 5. 同伦和单连通区域, 复对数 6. 全纯函数的开映射定理 7. 调和函数:Poisson核与Poisson积分
四. 整函数（约6学时）
1. Jensen公式 2. 有限级函数 3. Weierstrass无穷乘积 4. Hadamard分解定理
五. 共形映射（约9学时）
1.共形等价性 2. Dirichlet问题 3. Schwarz引理; 4.圆盘和上半平面的自同构 5. Montel定理 6. Riemann映照定理 7. Schwarz-Christoffel积分 8. Riemann映射定理边界行为
剩余学时可以选择选讲内容
选讲 傅里叶变换
1.类 2.类上的傅里叶变换 3.Paley-Wiener定理
选讲 Gamma函数和Zeta函数
1.Gamma函数：解析延拓，Gamma函数的性质 2. Zeta函数：函数方程和解析延拓
选讲 Zeta函数和素数定理
1.Zeta函数的零点：的估计 2. 函数和的约化：的渐进性质的证明，求和的可交换性的注记
选讲 函数的应用
1.雅可比函数的乘积公式2. 生成函数3. 平方和定理：二平方和定理，四平方和定理
附录A：渐近性
1.Bessel函数2. LapLace方法; Stirling公式3. Airy函数4. 配分函数
附录B：单连通性和Jordan曲线定理
1.单连通性的等价公式 2. Jordan曲线定理：Cauchy定理的一般形式的证明
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
1） 谭小江, 伍胜健： 复变函数简明教程，北京大学出版社。
2） Stein, E. M.: Complex Analysis, Princeton University Press. New Jersey.2003.
3）龚升: 简明复分析， 北京大学出版社。
4）Ahlfors,L.V.: Complex Analysis,3rd ed. MoGraw-Hill.NewYork.1979.
学生成绩评定方法：作业10％，期中考试40％，期末考试50％。
课程修订负责人：关启安