2020年度“应用数学专题讲习班”教学内容和大纲

课程一

课程名称：Introduction to Kinetic Theory
授课老师：Prof. Jingwei Hu, Purdue University
授课时间：2020/7/6-2020/7/17
教学内容：
在多尺度建模层次结构中，动力学理论是连接原子模型和连续模型的基本构建模块。它使用概率密度函数描述了由大量粒子组成的气体或系统的非平衡动力学。一方面，动力学描述比分子动力学更有效（需要较少的自由度）；另一方面，当Navier-Stokes-Fourier的著名流体力学定律变得不足时，它们在介观层面提供了丰富的信息，并且在包括稀有气体/等离子体动力学、辐射输运、半导体建模，甚至社会和生物科学等许多领域被证明是可靠的。本课程将介绍动力学理论，重点是玻尔兹曼方程和相关动力学模型。我们将讨论基本的数学理论，数值方法，以及各种应用。
教学大纲：

1. 玻尔兹曼方程的介绍：推导、特性、流体极限等。

2. 其他动力学模型/方程：线性玻尔兹曼方程、朗道方程、福克-普朗克方程、弗拉索夫方程等。

3. 玻尔兹曼方程的数值方法：快速谱方法、离散速度法、直接模拟蒙特卡罗方法

4. 多尺度动力学方程的保结构数值方法：IMEX 方法、指数法、渐近保持法、保正法、熵衰减法

5. 动力学方程数值方法的一些最新进展，包括不确定性量化和降维等方法

课程资料(点击下载）: Lecture Notes

课程二

课程名称： Mathematical Theory of Complex Systems: from chemical reaction kinetics to biology
授课老师：Prof. Hong Qian, University of Washington
授课时间：2020/7/6-2020/7/17
教学内容：
生物细胞是复杂系统的一个极好的具体例子。从生物学的角度来讲，细胞是所有生物系统和生命过程的基本组成部分。而从物理化学的角度来说，细胞是一个非常复杂的生物化学分子群落，具有相互作用的反应网络。细胞动力学理论为细胞的理论研究和实验数据分析奠定了数学基础。这一理论的重要意义在于它用“数学的语言解释”无生命的分子的共同体产生活的细胞及其生物功能; 通过化学和应用数学连接物理和生物学。由于缺乏更好的术语，我们暂且将这门新的应用数学称为世界的“化学表述”，它与我们熟悉的世界之“机械表述”相对应。后者在过去三百年中一直是应用数学的主线。
教学大纲：

1. 课程介绍

2. 力学与化学

3. 基元反应的随机数学理论

4. 马尔科夫过程的介观热力学

5. 作为涌现现象的宏观化学热力学

6. 酶动力学：由奇异摄动分析到平均首达时间

7. 单一物种的一维德·吉（Delbrück-Gillespie）过程及化学动力学

8. 相变理论的随机数学描述：介观现象和多尺度

9. 细胞生化动力学I：基因调控网络

10. 细胞生化动力学II：信号传递网络

课程资料(点击下载）: Lecture Notes2

Lecture Notes

Qian-Complexity-Science-2019

Qian-mathematicothermodynamics-2019

课程三

课程名称：Machine Learning of Dynamical Systems
授课老师：Prof. Qianxiao Li, National University of Singapore
授课时间：2020/07/20-2020/07/24
教学内容：
本课程以常微分方程或偏微分方程的形式介绍机器学习与动态系统分析之间的各种联系。我们将从两个互补方向来探讨该主题：1）微分方程中的经典理论如何帮助理解和改进机器学习模型和算法，2）如何从数据中发展和分析现代方法学习动态系统。
教学大纲：

1. 内容综述：回顾微分方程和机器学习中的基本概念

a. 微分方程

b. 机器学习的基础概念：逼近论、优化和泛化

c. 深度神经网络，残差网络

2. 深度学习的动力系统方法：介绍深度学习的动力系统方法，其中训练问题可以看成均场最优控制问题。在第一部分，我们将讨论这一观点的数学基础，然后我们将介绍这个思想的各种应用，以理解和提高深度学习的认识。

a. 控制论观点

b. Pontryagin极大原理和后传

c. 逼近论理论

d. 离散和连续网络之间的联系

e. 应用：稳定的架构，快速/鲁棒的训练算法

3. 动力系统的机器学习方法：介绍从数据中学习动力系统的基础知识。重点放在各种方法及其数学性质之间的联系和差异上。

a. 从完整观测系统学习：基于PCA/POD方法、稀疏识别、基于算子的方法

b. 从部分观测系统学习：RNN和门控网络、转换器

课程资料(点击下载）: Notes

Reference: S. L. Brunton and J. N. Kutz, Data-driven science and engineering: Machine learning, dynamical systems, and control. Cambridge University Press, 2019.