邵嗣烘
1.研究方向：计算量子力学，图谱理论及算法
2.概述：
量子力学的数学模型已经清楚了，但使用这些模型求解实际问题时得不到精确解，只能数值求解，希望用可承受的计算代价得到物质的主要性质，这就是计算量子力学的主要研究内容，其核心困难就是多体带来的高维问题。我们的研究从原始的量子模型出发，寻求各种可能的求解算法，确定的或者随机的，期望能将这些模型内蕴的数学结构转化成解决实际问题的高效算法。图谱理论以及相关的算法就是我们近年来尝试的策略之一，其主要思想是将图上离散问题等价转化成连续问题来进行理论和算法研究。我们的研究内容在内将计算数学与基础数学交叉、在外将计算数学与量子力学交叉，生动体现了连续与离散、确定与随机的对立统一。
3.课题：
（1）含时多体Wigner方程的数值方法
量子论已成为许多自然科学领域内的基本理 论工具, 实际需要的多样性又使得其数学模型也呈现多样性。由于使用了人们比较熟悉的波动语言和偏微分方程，波动力学成为量力理论中最常使用的形式。实际上，我们有多种不同的数学模型来描述量子现象，对于非相对论情形，有Schrödinger波函数、Wigner函数、密度算子、Green函数以及路径积分等。Wigner函数描述量子力学的最大优势在于它与经典分析力学的相似性，二者均是定义在相空间中。 基于这样的相似性，人们找到了量子力学和经典力学之间严格的数学关系，即形变量子化（Deformation Quantization）。 也正是因为Wigner方程和Boltzmann方程形式上的类似性，人们才有可能在同一框架下同时描述经典和量子机制，并且，很多关于Boltzmann方程的结论和讨论也有可能推广到Wigner方程，进一步加深人们对量子行为的理解。
对于时间依赖的Wigner方程，当前我们主要在如下两个方向上探索: (1) 多体Wigner方程的确定性的高精度算法，期望能求解两体问题; (2) 多体Wigner方程的Monte Carlo算法：数值分析、大规模并行和实际应用。
（2）割图（Graph Cut）和谱聚类（Spectral Clustering）算法
作为图论中的一个基本课题，割图问题一直吸引着数学家和计算机科学家的关注，有许多关于其数学理论和求解方法的讨论和探索，在很多领域内也有着广泛的应用。例如，基于割图的分析方法已经成为数据聚类分析中很重要的一类工具。然而，到底什么样的切割方式是最优的在不同领域内或者不同问题中有很不一样的回答，并且寻找全局最优的分割通常是NP难度的，如常见的Cheeger分割。我们能做的就只能是寻找近似解（如局部最优解），其中比较有名的方法就是所谓的谱聚类算法。 在谱聚类算法中，首先将原离散的割图问题转化成等价的连续函数优化问题，所得优化问题通常是非凸不可微的；其次将该优化问题松弛为可微的，使得标准的梯度优化方法可以适用进而得到所需要的分割。那么是否一定需要这样的松弛以及是否有其他的松弛方式？能否直接求解和原问题等价的连续函数优化问题呢？如果能求解，收敛速度如何？如何在连续层面上给出更自然的分割方式（包括分割成多少块以及怎么分割）？等等诸如此类问题是我们关心的。
（3） 多体Dirac方程的数学理论和数值方法
1928年，Dirac结合狭义相对论与量子力学建立了描述电子运动的相对论量子力学方程，即Dirac方程，它统一了狭义相对论、量子力学和电子自旋。自问世以来，Dirac方程在自然科学中扮演着重要的角色，它直接预言并导致了正电子（电子的反粒子）的发现。Dirac方程不仅是相对论量子力学的基本方程，也是量子场论的基础。由Dirac方程出发可以理论上导出电子具有自旋1/2，尽管在此之前电子自旋已由实验发现。数学上看，电子自旋体现于Dirac方程中的波函数（又称为Dirac旋量）具有多分量结构（如单电子情形时为四分量），由此也可知 Schrödinger方程的标量波函数不能用来解释电子自旋, 自然也不能用于描述自旋-轨道耦合作用。人们进一步发现，Schrödinger方程是Dirac方程在光速无限大时的近似，这意味着Schrödinger方程描述的是一个假想的虚拟世界（无限光速）而Dirac方程代表了我们的真实世界（有限光速, 30万公里/秒）。也就是说，Dirac方程与Schrödinger方程分别代表了完全相对论和非相对论这两个极端，它们之间的差别就是所谓的相对论效应（如自旋－轨道耦合作用就是一种典型的相对论效应），其量级与原子系数的平方成正比，因此对重元素体系的电子与分子结构等有重要影响。典型的例子如金的颜色、汞的液态都必须通过求解Dirac方程才能得到合理的解释。但这并不是说只有在重元素体系的计算中才需要考虑相对论效应，对轻元素体系有时也必须考虑相对论效应，如铁等金属蛋白酶的催化反应中出现的自旋反转必须通过自旋－轨道耦合作用才能发生。
与Schrödinger方程相比，Dirac方程有两个显著的不同：其一，前者是标量方程，后者是旋量方程（但有内在的代数结构，如四元数对称性）；其二，前者的动能是动量的二次方，后者的动能是动量的一次方，导致前者的特征值是下有界的，而后者的特征值是下无界的。换言之，Dirac方程允许负能态存在，可同时描述正能态（对应于电子）和负能态（对应于正电子的共轭镜像），而Schrödinger方程没有负能态。可以证明，单体Dirac算子的谱由三部分组成，由低到高分别是负能态连续谱、正能态点谱和正能态连续谱。对于Dirac方程，当前我们主要关心如下两个基本问题: (1) 理论上，多体Dirac方程有解（这里指点谱和平方可积特征函数）吗？(2) 如果有，数值上，能否直接采用求解多体Schrödinger方程（非相对论的）的波函数方法来求解多体Dirac方程（相对论的）呢?
（4）非线性Dirac方程的数学理论和数值方法
在Dirac给出描述电子的线性方程（即Dirac方程）不久，Ivanenko发展了自旋1/2基本粒子的非线性模型，期望所得非线性Dirac方程（也称为非线性旋量场模型）可以自然地描述这些基本粒子的自相互作用。Heisenberg等人进一步提出非线性Dirac方程可能可作为基本粒子的统一场模型。尽管很难说非线性旋量场模型是基于第一原理的，但是人们发现类似的模型在不同的领域内大量涌现，如the gap solitons in nonlinear optics, light solitons in waveguide arrays and experimental realization of an optical analog for relativistic quantum mechanics, Bose-Einstein condensates in honeycomb optical lattices, phenomenological models of quantum chromodynamics, 以及matter influencing the evolution of the Universe in cosmology。但是，数学上对于非线性Dirac方程研究的完整性和深度却远不及非线性Schrödinger方程，实际上，我们已经知道非线性Schrödinger方程的很多结论对于非线性Dirac方程并不成立，而且相关的研究工具也不能直接用来研究非线性Dirac方程。关于非线性Dirac方程，我们需要改进已有的工具或者发展新工具，也许还需要调整研究角度。
对于非线性Dirac方程，当前我们主要在如下两个方向上探索: (1) 研究非线性Dirac孤波的稳定性，在理论分析和数值试验两个方面均需要做更多的尝试。(2) 弄清楚各种非线性Dirac模型间的联系以及所关心的侧重点。
（5）粒子方法及应用
如何有效的处理复杂几何形状、移动边界、自由界面、流固耦合等问题是计算流体力学中的研究热点。粒子方法（也称为无网格方法），例如SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）方法，为这些问题提供了一种自然的统一的处理方案，深受工程师欢迎，尽管其计算精度难于和网格方法（如有限体积、有限元等）相媲美。由于同属于粒子方法，SPH方法也许可以更自然地和分子动力学方法耦合，以进行大规模的多尺度模拟。那么如何耦合？如何理解SPH的计算精度（如借助于nonlocal calculus）？如何有效的处理边界？如何模拟更实际的体系？以及在粒子方法的框架下确定性模拟和随机性模拟的比较等等均是我们所关心的问题。
4.本研要求：无，感兴趣就行